Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:
Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT
На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:
- как употребляется слово
- частота употребления
- используется оно чаще в устной или письменной речи
- варианты перевода слова
- примеры употребления (несколько фраз с переводом)
- этимология
Что (кто) такое МАТЕМАТИКА: СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА - определение
РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКИ, ИЗУЧАЮЩИЙ ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Конечная математика; Финитная математика
Найдено результатов: 464
МАТЕМАТИКА: СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
К статье МАТЕМАТИКА
Хотя теоретически возможно существование любых аксиом, до настоящего времени было предложено и исследовано лишь небольшое число аксиом. Обычно в ходе развития одной или нескольких теорий замечают, что какие-то схемы доказательства повторяются в более или менее аналогичных условиях. После того как свойства, используемые в общих схемах доказательств, обнаружены, их формулируют в виде аксиом, а следствия из них выстраивают в общую теорию, не имеющую прямого отношения к тем конкретным контекстам, из которых были абстрагированы аксиомы. Получаемые при этом общие теоремы применимы к любой математической ситуации, в которой существуют системы объектов, удовлетворяющие соответствующим аксиомам. Повторяемость одних и тех же схем доказательства в различных математических ситуациях свидетельствует о том, что мы имеем дело с различными конкретизациями одной и той же общей теории. Это означает, что после соответствующей интерпретации аксиомы этой теории в каждой ситуации становятся теоремами. Любое свойство, выводимое из аксиом, будет справедливо во всех этих ситуациях, но необходимость в отдельном доказательстве для каждого случая отпадает. В таких случаях говорят, что математические ситуации обладают одной и той же математической "структурой".
Мы пользуемся представлением о структуре на каждом шагу в нашей повседневной жизни. Если термометр показывает 10. С и бюро прогнозов предсказывает повышение температуры на 5. С, мы без всяких вычислений ожидаем температуру в 15. С. Если книга открыта на 10-й странице и нас просят заглянуть на 5 страниц дальше, мы не колеблясь открываем ее на 15-й странице, не отсчитывая промежуточных страниц. В обоих случаях мы полагаем, что сложение чисел дает правильный результат независимо от их интерпретации - в виде температуры или номеров страниц. Нам нет нужды учить одну арифметику для термометров, а другую - для номеров страниц (хотя мы пользуемся особой арифметикой, имея дело с часами, в которой 8 + 5 = 1, так как часы обладают другой структурой, чем страницы книги). Интересующие математиков структуры отличаются несколько более высокой сложностью, в чем нетрудно убедиться на примерах, разбору которых посвящены два следующих раздела данной статьи. В одном из них речь пойдет о теории групп и математических понятиях структур и изоморфизмов.
Теория групп. Чтобы лучше понять процесс, обрисованный выше в общих чертах, возьмем на себя смелость заглянуть в лабораторию современного математика и присмотреться к одному из его основных инструментов - теории групп (см. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ). Группой называется набор (или "множество") объектов G, на котором определена операция, ставящая в соответствие любым двум объектам или элементам a, b из G, взятым в указанном порядке (первым - элемент a, вторым - элемент b), третий элемент c из G по строго определенному правилу. Для краткости обозначим этот элемент a*b; звездочка (*) означает операцию композиции двух элементов. Эта операция, которую мы назовем групповым умножением, должна удовлетворять следующим условиям:
(1) для любых трех элементов a, b, c из G выполняется свойство ассоциативности: a* (b*c) = (a*b) *c;
(2) в G существует такой элемент e, что для любого элемента a из G имеет место соотношение e*a = a*e = a; этот элемент e называется единичным или нейтральным элементом группы;
(3) для любого элемента a из G найдется такой элемент a?, называемый обратным или симметричным к элементу a, что a*a. = a?*a = e.
Если эти свойства принять за аксиомы, то логические следствия из них (независимые от каких-либо других аксиом или теорем) в совокупности образуют то, что принято называть теорией групп. Вывести раз и навсегда эти следствия оказалось очень полезно, поскольку группы широко применяются во всех разделах математики. Из тысяч возможных примеров групп выберем лишь несколько наиболее простых.
(а) Дроби p/q, где p и q - произвольные целые числа ?1 (при q = 1 мы получаем обыкновенные целые числа). Дроби p/q образуют группу относительно группового умножения (p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Свойства (1), (2), (3) следуют из аксиом арифметики. Действительно, <(p/q) *(r/s)> *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)*<(r/s)*(t/u)>. Единичным элементом служит число 1 = 1/1, так как (1/1)*(p/q) = (1?p)/(1?q) = p/q. Наконец, элементом, обратным к дроби p/q, является дробь q/p, так как (p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.
(b) Рассмотрим в качестве G набор из четырех целых чисел 0, 1, 2, 3, а в качестве a*b - остаток от деления a + b на 4. Результаты таким образом введенной операции представлены в табл. 1 (элемент a*b стоит на пересечении строки a и столбца b). Нетрудно проверить, что свойства (1)-(3) выполняются, а единичным элементом служит число 0.
(с) Выберем в качестве G набор чисел 1, 2, 3, 4, а в качестве a*b - остаток от деления ab (обычного произведения) на 5. В результате получим табл. 2. Легко проверить, что свойства (1)-(3) выполняются, а единичным элементом служит 1.
(d) Четыре объекта, например четыре числа 1, 2, 3, 4, можно расположить в ряд 24 способами. Каждое расположение можно наглядно представить как преобразование, переводящее "естественное" расположение в заданное; например, расположение 4, 1, 2, 3 получается в результате преобразования
S: 1 . 4, 2 . 1, 3 . 2, 4 . 3,
которое можно записать в более удобном виде
Для любых двух таких преобразований S, T мы определим S*T как преобразование, которое получится в результате последовательного выполнения Т, а затем S. Например, если , , то . При таком определении все 24 возможных преобразования образуют группу; ее единичным элементом служит , а элемент, обратный к S, получается при замене стрелок в определении S на противоположные; например, если , то .
Нетрудно заметить, что в первых трех примерах a*b = b*a; в таких случаях говорят, что группа или групповое умножение коммутативны. С другой стороны, в последнем примере , и, следовательно, T*S отличается от S*T.
Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят, среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов. Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р, а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.
Структуры и изоморфизм. Предыдущие примеры показывают, сколь разнообразной может быть природа объектов, образующих группу. Но на самом деле в каждом случае все сводится к одному и тому же сценарию: из свойств множества объектов мы рассматриваем лишь те, которые превращают это множество в группу (пример неполноты знания). В таких случаях говорят, что мы рассматриваем групповую структуру, заданную выбранным нами групповым умножением.
Еще один пример структуры - т.н. структура порядка. Множество E наделено структурой порядка, или упорядочено, если между элементами a и b, принадлежащими E, задано некоторое отношение, которое мы обозначим R (a,b). (Такое отношение должно иметь смысл для любой пары элементов из Е, но в общем случае оно ложно для одних пар и истинно для других, например, отношение 7 < 3 ложно для пары чисел 3 и 7, а отношение 3 < 7 для той же пары чисел истинно.) Отношение обладает следующими свойствами:
(1) R (a,a) истинно для каждого а, принадлежащего Е;
(2) из R (a,b) и R (b,a) следует, что a = b;
(3) из R (a,b) и R (b,c) следует R (a,c).
Приведем несколько примеров из огромного числа разнообразных упорядоченных множеств.
(а) E состоит из всех целых чисел, R (a,b) - отношение "а меньше или равно b".
(b) Е состоит из всех целых чисел 1, R (a,b) - отношение "а делит b или равно b".
(c) Е состоит из всех кругов на плоскости, R (a,b) - отношение "круг a содержится в b или совпадает с b".
В качестве последнего примера структуры упомянем структуру метрического пространства; такая структура задается на множестве Е, если каждой паре элементов a и b, принадлежащих E, можно поставить в соответствие число d (a,b) . 0, удовлетворяющее следующим свойствам:
(1) d (a,b) = 0 в том и только том случае, когда a = b;
(2) d (b,a) = d (a,b);
(3) d (a,c) . d (a,b) + d (b,c) для любых трех заданных элементов a, b, c из E.
Приведем примеры метрических пространств:
(a) обычное "трехмерное" пространство, где d (a,b) - обычное (или "евклидово") расстояние;
(b) поверхность сферы, где d (a,b) - длина наименьшей дуги круга, соединяющей две точки a и b на сфере;
(c) любое множество E, для которого d (a,b) = 1, если a . b; d (a,a) = 0 для любого элемента a.
Точное определение понятия структуры довольно сложно. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что на множестве Е задана структура определенного типа, если между элементами множества Е (а иногда и другими объектами, например числами, которые играют вспомогательную роль) заданы отношения, удовлетворяющие некоторому фиксированному набору аксиом, характеризующему структуру рассматриваемого типа. Выше мы привели аксиомы трех типов структур. Разумеется, существуют многие другие типы структур, теории которых полностью разработаны.
С понятием структуры тесно связаны многие абстрактные понятия; назовем лишь одно из наиболее важных - понятие изоморфизма. Вспомним пример групп (b) и (c), приведенных в предыдущем разделе. Нетрудно проверить, что от табл. 1 к табл. 2 можно перейти с помощью соответствия
0 . 1, 1 . 2, 2 . 4, 3 . 3.
В этом случае мы говорим, что данные группы изоморфны. В общем случае две группы G и G. изоморфны, если между элементами группы G и элементами группы G. можно установить такое взаимно однозначное соответствие a . a?, что если c = a*b, то c. = a?*b??для соответствующих элементов ??. Любое утверждение из теории групп, справедливое для группы G, остается в силе и для группы G?, и наоборот. Алгебраически группы G и G. неразличимы.
Читатель без труда убедится, что точно так же можно определить два изоморфных упорядоченных множества или два изоморфных метрических пространства. Можно показать, что понятие изоморфизма распространяется на структуры любого типа.
Фундаментальная математика
ТА ЧАСТЬ МАТЕМАТИКИ, КОТОРАЯ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРИКЛАДНОЙ
Чистая математика
Фундаментальная математика (чистая математика, теоретическая математика) — полностью абстрактная математика, фундаментальная её часть, которая, в отличие от прикладной математики, изучает абстрактные структуры без соотношения их с объектами реального мира. Основные ветви фундаментальной математики — алгебра (идущая от арифметики и теории чисел к общей алгебре), геометрия (включая топологию), анализ, в качестве самостоятельных направлений рассматриваются фундаментальные разделы дискретной математики (комбинаторика, теория графов), кроме того, выд
Математика в Древней Греции
 - Zenon of Elea or Zenon of Citium.jpg?width=200 "<center>Зенон Элейский</center>")
![Афинской школы]]»)](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Sanzio 01 Pythagoras.jpg?width=200 "Афинской школы]]»)")
Древнегреческая математика; Математика в древней Греции; Математика Древней Греции
Понятие древнегре́ческая матема́тика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э.
Конкретная математика
Конкретная математика. Основание информатики
«Конкретная математика. Основание информатики» — книга Дональда Кнута, Роналда Грэхема и Орена Паташника по математике, рассматривающая математические основы информатики, особенно анализа алгоритмов.
Математика исламского Средневековья
![Абу Сахля аль-Кухи]] для рисования конического сечения.](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Gravure originale du compas parfait par Abū Sahl al-Qūhī.jpg?width=200 "Абу Сахля аль-Кухи]] для рисования конического сечения.")
![ибн аль-Хайсама]] из «Книги оптики»](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Theorem of al-Haitham.JPG?width=200 "ибн аль-Хайсама]] из «Книги оптики»")
![Омара Хайяма]], хранящейся в Тегеранском университете](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Khayyam-paper-1stpage.png?width=200 "Омара Хайяма]], хранящейся в Тегеранском университете")
КОРПУС МАТЕМАТИКИ, СОХРАНИВШИЙСЯ И РАЗВИТЫЙ В ПЕРИОД ИСЛАМСКОЙ ЦИВИЛИЗАЦИИ МЕЖДУ 622 И 1600 ГОДАМИ.
Математика исламского средневековья
Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты.
Фундаментальная и прикладная математика
Фундаментальная и прикладная математика (журнал)
«Фундаментальная и прикладная математика» — научный журнал, в котором публикуются оригинальные исследовательские работы и обзорные научные статьи из всех областей математики.
Математика в школе
НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
Математика в школе (журнал)
Математика в школе — научно-теоретический и методический журнал для учителей математики. Периодичность 10 номеров в год.
порядок
СТРАНИЦА ЗНАЧЕНИЙ
Порядок (математика)
1. только ед. Состояние благоустройства и налаженности, систематичность, правильность в расположении чего-нибудь, в ходе дел; ант. беспорядок
. "Привести в порядок впечатления." А.Тургенев. В комнате полный порядок. Восстановить порядок. Навести порядок. Держать в порядке документы. Для поддержания порядка. Все в порядке.
. "Привести в порядок впечатления." А.Тургенев. В комнате полный порядок. Восстановить порядок. Навести порядок. Держать в порядке документы. Для поддержания порядка. Все в порядке.
2. только ед. Последовательность, ход. Порядок рассуждений. Порядк доказательств. Алфавитный порядок. Считать по порядку. Изложил всё по порядку. По порядку номеров рассчитайсь! (воен. команда). Порядок счисления. В порядке очереди.
3. только ед. Способ, метод, путь в осуществлении чего-нибудь. Порядок комплектования. Порядок распределения по группам. Отправить этапным порядком. Выселить в административном порядке. В дискуссионном порядке. В порядке предложения. В порядке обсуждения. Явочный порядок.
4. Строй, системы управления, режим. - Я стою не за всякий порядок. Я стою за такой порядок, который соответствует интересам *****
7. Ряд домов, составляющих одну сторону улицы (·обл. ). Деревня в два порядка.
| Ряд, линия чего-нибудь (спец. и ·обл. ). Сажать деревья в два порядка. Ставить сети порядками.
8. В систематике животных и растений - группа близко родственных семейств (научн.). Несколько порядков образуют класс.
• В порядке вещей (·разг.) - нормально, обычно. Все это в порядке вещей, не надо удивляться. В порядке - 1) в исправном виде. Вернул велосипед владельцу в порядке. 2) перен. благополучно. Всё в порядке. В порядке чего - перен. на основании чего-нибудь, следуя чему-нибудь. В порядке профсоюзной дисциплины. Для порядка - 1) для поддержания, для водворения порядка. Он стоит у дверей для порядка. 2) для соблюдения этикета, обычая, правил. "И так же коротко обстрижен для порядка." Грибоедов. Порядок дня (офиц.) - вопросы, предназначенные для обсуждения на заседании. Порядок дня конференции. В порядке дня или в порядок дня (неол.) - на очереди или на очередь для рассмотрения, разрешения. "Кончился мирный период революции, ибо в порядок дня был поставлен штык." История ·ВКП(б). Призвать к порядку кого (офиц.) - предложить соблюдать порядок, заставить кого-нибудь прекратить какие-нибудь незаконные, неправильные действия. Своим порядком (·разг.) - как нужно, как полагается. "Все шло своим порядком." А.Тургенев. Одного порядка того же самого характера. Все эти дела - одного порядка.
ПОРЯДОК
СТРАНИЦА ЗНАЧЕНИЙ
Порядок (математика)
в биологии - таксономическая категория (ранг) в систематике растений и бактерий. В порядок объединяют родственные семейства. Близкие порядки образуют класс. В систематике животных порядку соответствует отряд.
порядок
СТРАНИЦА ЗНАЧЕНИЙ
Порядок (математика)
муж. совокупность предметов, стоящих по ряду, рядом, рядком, вряд, сподряд, не вразброс, не враскид, а один за другим; ряд, линия, шеренга, строй; каждая сторона улицы, ряд домов, образует порядок (в ·*петерб. линия). Которым порядком ехать-то. Ряд сетей, аханов, самоловных снастей, в реке или в море (·*астрах.), порядок; каждый порядок ставится поперек берега, потому что рыба, дойдя с моря до известной глубины, поворачивает вдоль берега; в порядке 150 концов дели (сети), по семи саж. Выбивать порядки, ставить сети, снасти. Выдирать порядки, убирать их. Сажать деревья в два порядка, улицей, просадью, аллеей. Каменные ряды на нижегородской ярмарке выстроены порядками.
| Устройство, образ расположенья, вид расстановки, способ размещенья. Каким порядком велено войску строиться. Фронтом, колонами и пр. Боевой порядок флота - линия бейдевинда.
| Вообще последовательность в деле, заранее обдуманный ход и действия. Очередной порядок, жеребьевый порядок рекрутчины. Законный порядок дел, установленные действия и обряды. На все есть свой порядок. Иди порядком, а не мимо начальства, с просьбой. Для порядка, без нужды и пользы, для одного внешнего вида. У нас новые порядки, законы, правила. По порядку, сряду, сподряд, поряду, поочередно. Порядок дела не портит. От порядка не нищают. Излишние порядки те же беспорядки (доводят до беспорядков). Большие порядки доводят до беспорядков. Послан для порядка - а воротился пьянь! (Гоголь). Не донимает порядок, не доняли б порядки (т. е. новые распоряжения),
| Правильное устройство, соблюденье стройности, чередного хода дел, определенного расположенья вещей, ·противоп. беспорядок
, расстройство
, запущенье
, бестолочь
. Вещи его все разложены в порядке. У них в доме большой порядок. Во многоначалии нет порядка. Обедать порознь, когда кому вздумается, это не порядок. Что за порядок огород без грядок! Порядком нареч. по ряду, по очереди, сряду, сподряд;
, расстройство
, запущенье
, бестолочь
. Вещи его все разложены в порядке. У них в доме большой порядок. Во многоначалии нет порядка. Обедать порознь, когда кому вздумается, это не порядок. Что за порядок огород без грядок! Порядком нареч. по ряду, по очереди, сряду, сподряд;
| порядочно, последовательно или по порядку;
| основательно, дельно, обдуманно, не зря, не как ни попало;
| порядочно, изрядно, довольно, немало. Ему-таки порядком досталось. Поряду нареч. сряду, кряду, сподряд, по порядку, одно за другим, без пропуска или иной очереди. Порядный, идущий порядком, по порядку, по ряду;
| порядочный и порядковый;
| относящийся к порядне, хозяйству, стряпне;
| ·*архан. относящийся до свадебного поезда.
| сущ., муж., ·*архан. поезжанин, каждый свадебный гость в поезде. Порядковые строенья, избы, стоящие в порядке или в линии, по улице, в ряду; порядочный, идущий порядком, по порядку, сряду. Порядочная или порядковая роспись, росписанье порядка, очереди. Порядковые числа, в грам. означающия ряд, порядок, постепенность, последовательность: первый, второй, третий и пр. Порядочный дом, хозяйство, содержимые в порядке, в устройстве. Порядочный человек, любитель порядка, или ведущий, держащий себя изрядно, прилично, как должно. Это цена препорядочная, убыток порядочный, значительный, немалый. Сукно это порядочное, приличное, вряд, изрядное, довольно хорошее. Ветерок порядочный. Да ты порядочный шалун! Он порядочно работает. Она играет порядочно. Порядливый человек, порядочный, любящий порядок; толковый, распорядливый. Порядовный ·*архан. почетный. Порядовные гости на переднюю лавку!
| В ряду находящийся, состоящий. Порядовка, ряд, порядок, круг, черед, очередь. Мы все порядовкой ездим. Порядовник, -ница , всяк, состоящий в порядовке, в чередном кругу;
| ·*пск., ·*твер. сосед, шабер. Порядчик, -чица , заводитель или блюститель порядков.
| от гл. рядить
, кто порядил поряжает кого. Поряд муж. поряда, порядуха (·*пск.) жен. порядица, порядня, заведенный порядок, обык, обычай.
, кто порядил поряжает кого. Поряд муж. поряда, порядуха (·*пск.) жен. порядица, порядня, заведенный порядок, обык, обычай.
| Поряд, ·*новг. запас?
| Порядня жен. снаряд, сбруя или снасть, рыбачья порядня. Ямская порядня.
| ·*новг., ·*тамб. и другие порядок, устройство, хозяйство; домашнее женское хозяйство, обрядня, стряпня, приспешничество;
| утварь домашняя, для варева и стола. У нас большуха порядней правит. В доброй порядне не в торг, а в клеть (ступай). Порядничать, править хозяйством, готовить, варить, приспешничать, обряжать стол. Порядковать ·*южн. управлять порядком, распоряжаться, хозяйничать, заведывать чем. Поряживать, порядить что, ·*новг., ·*ниж., ·*тамб. делать, подплывать, полаживать, ладить, излаживать, приводить вещь в должный порядок, исправлять, чинить и переделывать. Что поряживаешь. что поделываешь, чем занят, или как живешь. Поряжаваю соху. Новая изба поряживается, скоро порядится совсем, отделается. Поряживанье, поряженье, поряд, порядка, действие по гл.
| Поряживать рабочих, рядить и приценяться, приискивать, не кончая с ними дела.
| Она дочерей поряживает, охотно наряжает, водить нарядно. Поряжать, порядить мастеровых, бурлаков, рядить, подряжать; подрядить, брать за условную плату для работ. Подряжают одного за всех, подрядчика; а поряжают прямо того, кто сам работает. Порядил я пильщиков, косцов. В городе ныне чуть ли не дешевле деревенскаго поряжают поденьщиков, они дешевле поряжаются, ·в·знач. страд. и ·возвр. Порядился так продался, не свой. Один порядился - семерых связал! Поваженный, что поряженный (что наряженный), словно по делу, по долгу.
| Порядила дочерей, словно на показ. Порядила детей, да не долго: не на что стало. Поряжанье, поряженье, поряд, действие по гл., ряд, ряда, уговор, условье и сделка на работу, доставку чего-либо. Дондеже поряд положим о славном и великом К!еве, Никон договор. Поряжатель, порядитель, -наца , порядчик, -чица , порядивший кого; устроивший порядки и пр..
Википедия
Дискретная математика
Дискре́тная матема́тика — часть математики, изучающая дискретные математические структуры, такие как графы и утверждения в логике.
В контексте математики в целом дискретная математика часто отождествляется с конечной математикой — направлением, изучающим конечные структуры — конечные графы, конечные группы, конечные автоматы. Конечность определяет некоторые особенности, не присущие разделам, работающим с бесконечными и непрерывными структурами, например, в дискретных направлениях как правило обширнее класс разрешимых задач, так как во многих случаях возможен полный перебор вариантов, тогда как при работе с бесконечными и непрерывными структурами для разрешимости обычно требуются существенные ограничения. В связи с этим в дискретной математике особо важную роль играют задачи построения конкретных алгоритмов, и в том числе, эффективных с точки зрения вычислительной сложности. Ещё одна особенность дискретной математики — невозможность применения для её экстремальных задач техник анализа, существенно использующих недоступные для дискретных структур понятия гладкости. В широком смысле, можно считать, что дискретная математика охватывает значительные части алгебры, теории чисел, математической логики.
В рамках учебных программ дискретная математика обычно рассматривается как совокупность разделов, связанных с приложениями к информатике и вычислительной технике: теория функциональных систем, теория графов, теория автоматов, теория кодирования, комбинаторика, целочисленное программирование.
